4.2 Polinomios de interpolación: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange.

Existencia de polinomio de interpolación

El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:

•  ·         Saber si tiene solución o no.
• ·         En caso de tenerla, ¿dicha solución es ´única o existen varias?
• ·         Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.

 A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado:

 Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.

 La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra) consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde (con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible.

Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis del teorema.

 Entonces

P − Q es otro polinomio de grado n con n + 1 ceros, y eso conduce inevitablemente a que

P − Q _ 0.

 Completamos este razonamiento con dos respuestas (en las siguientes secciones) de existencia de solución, ambas constructivas.

• Interpolación de Lagrange.

Este método es el más explicito para probar existencia de solución ya que la construye.

Sin embargo su utilidad se reduce a eso: a dar una respuesta formal y razonada, pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas operaciones y tiene limitaciones técnicas que después nombraremos).

 Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos (xi, fi) con i =

0, . . . , n podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si construimos polinomios

 li(x) de grado n que valgan 1 en el nodo xi y 0 en el resto?

li(xk) = _ik = _ 1 si i = k, 0 si i 6= k.

 Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma de esa n + 1 polinomios de grado n (con coeficientes adecuados):

 P(x) = Pn k=0 fk · lk(x).

¿Es posible encontrar tales li(x)? Si damos el polinomio facto izado para que tenga en cada nodo xj (con j 6= i) una raíz, el candidato es:

 (x − x0)(x − x1) ·. . . · (x − xi−1)(x − xi+1) · . . . · (x − xn) = n Yj=0 j6=I (x − xj).

• Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.

 Cualquier polinomio de <n[x] se puede expresar en forma única como una combinación lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn}, pues son evidentemente sistema generador y además linealmente independientes (luego forman una base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base canoníca.

 Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de polinomios como nombrábamos en la sección anterior (derivación e integración por ejemplo), no es, sin embargo, la más adecuada para construir en principio el polinomio interpolador.

 Vimos que resultaba útil incluir los propios nodos del problema en los polinomios a construir, de modo que en este parágrafo adoptamos una solución intermedia:

 Expresaremos el polinomio P(x) que interpola a las abscisas x0, x1, . . . , xn, como una combinación lineal del siguiente conjunto de polinomios {             0(x),      1(x), . . . ,            n(x)} siendo:

             0(x) = 1,

                1(x) = (x − x0),

                2(x) = (x − x0)(x − x1),

                3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2),

                n(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1)

 Este conjunto es otra base del espacio de <n[x] por tener n + 1 elementos linealmente independientes (obsérvese que con este método cada problema requiere una base distinta, en función de los nodos xi que nos dan, y que el cálculo de cada sirve para el siguiente.)