6.3 Métodos de pasos multiples

  Métodos de pasos múltiples.

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Esto lo podemos demostrar mediante las siguientes graficas.

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

Método de Euler.

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

Ya que esto se puede representar mediante la síguete grafica la cual se mostrara a continuación:

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.  Donde en ella podemos representar diferentes tipos de tangente, así es como se va calculando este método.

Método de Runge-Kutta.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Los métodos de Runge-Kutta gran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente. Las modificaciones en realidad pertenecen a una clase mayor de métodos de solución llamados métodos deRunge-Kutta. Sin embargo ya que tiene una interpretación grafica sencilla, se presentantes de la derivación formal de los métodos de Runge-Kutta. Para corregir estas deficiencias se plantean primero el método de Heun y posteriormente los métodos deRunge-Kutta

6.1 Fundamento de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

§  Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

§  Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Tipos de solución:

·         Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de Y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

·         Solución particular: Si fijando cualquier punto P(Xo,Yo) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(Xo,Yo), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

·         Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

5.3 Integración con intervalos desiguales.

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de 

la 

regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden 

jerárquico:

      1 .- Simpson 3/8: Esta se aplica, si contamos con  4  puntos 

igualmente espaciados. 

      2 .-  Simpson  1/3: Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 

3  puntos  igualmente espaciados. 

                3 .-  Regla Trapezoidal:  Solo se aplica  si no se cumple (1)  y (2).    

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: 

1 .- Simpson 3/8         

Esta se aplica, si contamos con  4  puntos igualmente espaciados. 

2 .-  Simpson  1/3  

        Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 3  puntos   igualmente espaciados. 

3 .-  Regla Trapezoidal      

        Solo se aplica  si no se cumple (1)  y (2)

5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

"La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y 

en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales para obtener 

valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse 

analíticamente".

        Método del trapecio:

 

      La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un 

método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

           La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la 

función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de 

ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue 

que:

 

Métodos de Simpson 1/3 y 3/8

            La regla de Simpson tiene mayor aproximación que regla de los 

trapecios. En la regla de los trapecios los puntos sucesivos de la grafica y = f(x) 

se unen mediante líneas que forman los trapecios, en la regla de Simpson los 

puntos se unen mediante segmentos de parábolas.            

            En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en 

honor deThomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de 

integración numéricaque se utiliza para obtener la aproximación de la integral: 

 

 

 

5.1 Derivación numérica.

La derivación numérica es una técnica de análisis umérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma".

        FORMULACION MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS:

        A la ecuación se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas        finitas.Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.             

      Por definición la derivada de una función F(X) es:

      Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

DIFERENCIAS HACIA ADELANTE: 

DIFERENCIAS HACIA ADELANTE:

              La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:                                                  

4.3 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS: LINEAL Y CUADRÁTICA.

MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS – REGRESIÓN LINEAL.

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.

Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es lamejor recta:

 y(x) = a x + b

 Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:

Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.

4.2 Polinomios de interpolación: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange.

Existencia de polinomio de interpolación

El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:

•  ·         Saber si tiene solución o no.
• ·         En caso de tenerla, ¿dicha solución es ´única o existen varias?
• ·         Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.

 A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado:

 Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.

 La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra) consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde (con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible.

Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis del teorema.

 Entonces

P − Q es otro polinomio de grado n con n + 1 ceros, y eso conduce inevitablemente a que

P − Q _ 0.

 Completamos este razonamiento con dos respuestas (en las siguientes secciones) de existencia de solución, ambas constructivas.

• Interpolación de Lagrange.

Este método es el más explicito para probar existencia de solución ya que la construye.

Sin embargo su utilidad se reduce a eso: a dar una respuesta formal y razonada, pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas operaciones y tiene limitaciones técnicas que después nombraremos).

 Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos (xi, fi) con i =

0, . . . , n podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si construimos polinomios

 li(x) de grado n que valgan 1 en el nodo xi y 0 en el resto?

li(xk) = _ik = _ 1 si i = k, 0 si i 6= k.

 Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma de esa n + 1 polinomios de grado n (con coeficientes adecuados):

 P(x) = Pn k=0 fk · lk(x).

¿Es posible encontrar tales li(x)? Si damos el polinomio facto izado para que tenga en cada nodo xj (con j 6= i) una raíz, el candidato es:

 (x − x0)(x − x1) ·. . . · (x − xi−1)(x − xi+1) · . . . · (x − xn) = n Yj=0 j6=I (x − xj).

• Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.

 Cualquier polinomio de <n[x] se puede expresar en forma única como una combinación lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn}, pues son evidentemente sistema generador y además linealmente independientes (luego forman una base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base canoníca.

 Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de polinomios como nombrábamos en la sección anterior (derivación e integración por ejemplo), no es, sin embargo, la más adecuada para construir en principio el polinomio interpolador.

 Vimos que resultaba útil incluir los propios nodos del problema en los polinomios a construir, de modo que en este parágrafo adoptamos una solución intermedia:

 Expresaremos el polinomio P(x) que interpola a las abscisas x0, x1, . . . , xn, como una combinación lineal del siguiente conjunto de polinomios {             0(x),      1(x), . . . ,            n(x)} siendo:

             0(x) = 1,

                1(x) = (x − x0),

                2(x) = (x − x0)(x − x1),

                3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2),

                n(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1)

 Este conjunto es otra base del espacio de <n[x] por tener n + 1 elementos linealmente independientes (obsérvese que con este método cada problema requiere una base distinta, en función de los nodos xi que nos dan, y que el cálculo de cada sirve para el siguiente.)

4.1 Interpolación: Lineal y cuadrática.

4.1 Interpolación: Lineal y cuadrática.

                    INTERPOLACIÓN 

El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podriamos decir que:

"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos".

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

• Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton.

Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1

• INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

El error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea recta.

Estrategias:
– Disminuir el tamaño del intervalo.
– Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos.