6.3 Métodos de pasos multiples

  Métodos de pasos múltiples.

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Esto lo podemos demostrar mediante las siguientes graficas.

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

Método de Euler.

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

Ya que esto se puede representar mediante la síguete grafica la cual se mostrara a continuación:

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.  Donde en ella podemos representar diferentes tipos de tangente, así es como se va calculando este método.

Método de Runge-Kutta.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Los métodos de Runge-Kutta gran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente. Las modificaciones en realidad pertenecen a una clase mayor de métodos de solución llamados métodos deRunge-Kutta. Sin embargo ya que tiene una interpretación grafica sencilla, se presentantes de la derivación formal de los métodos de Runge-Kutta. Para corregir estas deficiencias se plantean primero el método de Heun y posteriormente los métodos deRunge-Kutta

6.1 Fundamento de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

§  Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

§  Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Tipos de solución:

·         Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de Y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

·         Solución particular: Si fijando cualquier punto P(Xo,Yo) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(Xo,Yo), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

·         Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

5.3 Integración con intervalos desiguales.

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de 

la 

regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden 

jerárquico:

      1 .- Simpson 3/8: Esta se aplica, si contamos con  4  puntos 

igualmente espaciados. 

      2 .-  Simpson  1/3: Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 

3  puntos  igualmente espaciados. 

                3 .-  Regla Trapezoidal:  Solo se aplica  si no se cumple (1)  y (2).    

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: 

1 .- Simpson 3/8         

Esta se aplica, si contamos con  4  puntos igualmente espaciados. 

2 .-  Simpson  1/3  

        Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 3  puntos   igualmente espaciados. 

3 .-  Regla Trapezoidal      

        Solo se aplica  si no se cumple (1)  y (2)

5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

"La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y 

en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales para obtener 

valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse 

analíticamente".

        Método del trapecio:

 

      La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un 

método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

           La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la 

función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de 

ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue 

que:

 

Métodos de Simpson 1/3 y 3/8

            La regla de Simpson tiene mayor aproximación que regla de los 

trapecios. En la regla de los trapecios los puntos sucesivos de la grafica y = f(x) 

se unen mediante líneas que forman los trapecios, en la regla de Simpson los 

puntos se unen mediante segmentos de parábolas.            

            En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en 

honor deThomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de 

integración numéricaque se utiliza para obtener la aproximación de la integral: 

 

 

 

5.1 Derivación numérica.

La derivación numérica es una técnica de análisis umérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma".

        FORMULACION MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS:

        A la ecuación se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas        finitas.Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.             

      Por definición la derivada de una función F(X) es:

      Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:

DIFERENCIAS HACIA ADELANTE: 

DIFERENCIAS HACIA ADELANTE:

              La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:                                                  

4.3 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS: LINEAL Y CUADRÁTICA.

MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS – REGRESIÓN LINEAL.

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.

Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es lamejor recta:

 y(x) = a x + b

 Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:

Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.